[선형대수] 역행렬, 열공간, 계수, 영공간

키워드: 역행렬(Inverse Matrix), 열공간(Column Space), 계수(Rank), 영공간(Null Space)

 

이 개념들은 미지수인 변수들의 목록과 변수들과 관련된 방정식의 리스트를 표현하는 방정식계의 해를 찾을 때 사용할 수 있다. 특히, 변수에는 상수만 곱해져있고 각 변수들끼리는 더해지기만 하는 선형 방정식계 (linear system of equations)의 상황에서 유용하다.

\begin{align*}
2x + 5y + 3z &= -3 \\
4x + 0y + 8z &= 0 \\
1x + 3y+ 0z &= 2
\end{align*}

위와 같은 방정식계는 행렬-벡터 곱셈의 형식으로 표현할 수 있다.

$$ \begin{bmatrix}
2 & 5 & 3 \\
4 & 0 & 8 \\
1 & 3 & 0 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{bmatrix} 
=
\begin{bmatrix}
-3 \\
0 \\
2 \\
\end{bmatrix} $$

 

상수 행렬을 $A$라 하고, 미지수 벡터 행렬을 $\vec{x}$, 상수 행렬을 $\vec{v}$로 표현하여 더 간단하게 한 줄로 쓸 수 있다.

$$A\vec{x} = \vec{v}$$

 

$A$ 행렬(linear transformation)이 $\vec{x}$  벡터를 어떤 식으로 변환해서 $\vec{v}$ 벡터로 만드는지를 알아내는 과정이 결국 선형 방정식계의 해를 찾는 과정과 동일하다. 이때 가능한 경우의 수를 2가지로 나눌 수 있는데,  1) $A$ 행렬 이 벡터의 차원을 그대로 유지하는지, 2) 아니면 벡터의 차원을 축소시키는지이다.

 

1) 그대로 유지하는 경우

대부분의 경우 차원 수는 동일하게 유지되며, $det(A) \neq 0$이다. 이 경우에는 대부분은 확실히 하나의 유일한 해가 존재한다. 차원이 축소되지 않기 때문에 특정 선형 변환의 역변환이 존재하며, $A$ 행렬의 역행렬 $A^{-1}$ 은 존재하게 된다. $\vec{v}$에 역행렬을 적용하면 $\vec{x}$를 쉽게 구할 수 있다. 

 

2) 벡터의 차원이 축소된 경우

$A$ 행렬로 인해 벡터의 차원이 축소된 상황을 생각해보자. 하나의 선을 입력을 받으면, 즉 여러개의 선들로 구성된 하나의 면을 출력으로 해야 되는데 함수나 선형변환 행렬은 이러한 one-to-many 관계를 만들지 못한다. 따라서 역행렬을 존재하지 않는다.

역행렬이 없는 경우에도 해는 있을 수 있다 .만약 축소된 차원이 2차원으로 하나의 선일 때, x벡터와 v벡터가 우연히 같은 선에 위치한다면 해가 존재할 수 있다.

축소된 차원이 2차원인지 3차원인지에 따라 $det(A) = 0$이라는 사실은 동일하지만 해가 존재할 확률은 다르다. 이러한 차이를 표현하기 위해서는 $det(A) = 0$ 이라는 것보다 더 자세한 표현이 필요하다. 이때 사용하는 것이 계수(rank)이다. 

 

- 계수 (rank) =  변환 결과의 차원의 수 (number of dimensions in the output)

만약 계수가 2라면 결과로 얻어진 벡터는 2차원이라는 것이다. 2x2 행렬이 최대로 가질 수 있는 계수는 2다. 2x3 행렬은 계수가 2인데, 3차원의 벡터를 2차원으로 매핑하는 결과와 동일하다. 그리고 변환 결과에서 벡터들이 존재할 수 있는 모든 공간을 열공간(column space)라고 한다.

 

- 열공간 (column space) = 하나의 행렬로부터 가능한 모든 결과의 집합. 즉 계수는 열공간의 차원 수와 동일한 의미를 가진다. 

변환이 되기 전 공간에서 변환이 된 후에 영벡터(원점)으로 축소되는 벡터들이 존재한다. 이러한 벡터들의 집합 공간을 영공간(null space)라고 한다.

 

- 영공간 (null space) = 커널 (kernel) = 원점으로 이동되는 벡터들의 집합.