[선형대수] 벡터와 선형 조합

벡터를 바라보는 시각은 크게 3가지로 나눌 수 있습니다.

- 물리학도 : 공간에 존재하는 화살표로 접근

- 컴퓨터공학도 : 리스트와 비슷하게 보이는, 값을 묶어놓은 행렬로 접근

- 수학도 : 앞서 나온 두가지 시각을 일반화하는 시각으로, 벡터의 덧셈과 스칼라 값과 벡터의 곱셈의 개념으로 접근

 

벡터는 정해진 좌표계에서 어떤 방향으로 얼만큼 가는지를, 숫자로 표현하게 되면 움직인 뒤의 좌표값을 표현한다고 생각할 수도 있습니다. 화살표로 생각하면, 꼬리를 떼고 끝점이 어디에 갈지를 정하는 것입니다. 벡터끼리의 합은 이러한 움직임을 더하는 것이고, 스칼라 값을 곱하는 것은 이러한 움직임의 크기를 정하는 것입니다. 

 

모든 벡터는 결국 가장 작은 단위인 기저 벡터 (unit vector)의 덧셈으로도 표현할 수 있습니다. 벡터들이 평행한 경우에는 하나의 직선 밖에 표현 못하지만, 평행하지 않으면 어떠한 방향도 벡터의 덧셈과 스칼라의 곱으로 분해할 수 있기 때문입니다. 

이처럼 서로 다른 벡터의 선형 조합(Linear Combination, 상수를 곱하고 벡터끼리 더하는 것)으로 형성되는 공간을 Span이라고 합니다. 

2차원 상에서 평행하는 벡터의 span은 선이 되고, 평행하지 않는 벡터의 span은 면이 됩니다.

 

자주 사용되는 x축과 y축 좌표계의 기저 벡터는 다음과 같이 표시합니다.

$$\hat{i}, \hat{j}$$ 

각각의 의미는 x축으로 1, y축으로 1 움직인다는 것으로 행렬로 표시하면 다음과 같습니다.

 

\[ \begin{array}{cc} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \end{array} \]