[선형대수] 행렬식 (Determinant)

선형대수를 공부하다 보면 행렬식이라는 개념을 접하게 됩니다. 행렬식의 정의는 정방행렬(Square Matrix)을 하나의 수로 대응시키는 함수입니다. 

 

행렬식을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

2x2 행렬

\[ \det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc \]

3x3 행렬

\[ \det\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(de - gh) \]

 

 

행렬식을 계산하는 방법에 대해서 간략하게 배웠거나, 행렬식의 계산 값이 단순히 두 벡터가 만들어내는 사각형의 넓이라는 값이라는 것으로 알고 있는 경우가 많습니다. 하지만 이번 글에서는 이전 글에서 설명한 내용을 바탕으로 행렬식이 가지는 진정한 의미에 대해서 더 알아보고자 합니다. 

 

선형변환을 통해 특정 벡터에 대해 확장, 회전, 기울이기와 같은 작업을 수행할 수 있었습니다. 그런데 이 특정 벡터는 언제나 기저벡터인  모든 선형변환은 기저벡터 $\hat{i}$과 $\hat{j}$으로 분해될 수 있기 때문에, 이 두 기저벡터가 어떻게 변환되는지를 통해 어떤 선형변환이 적용되었는지를 알 수 있습니다. 

 

원래의 기저벡터들이 만드는 크기가 1인 정사각형을 단위 정사각형이라고 할 때, 단위 정사각형이 어떻게 변형되는지를 통해 선형변환으로 인해 일어나는 확장, 회전, 기울이기에 대해서 알 수 있습니다. 그리고 이러한 선형변환을 정량적으로 표현하는 것이 행렬식입니다. 

① 확장 : 사각형의 크기가 커짐에 따라 행렬식의 값도 증가하게 됩니다.

② 기울이기 : 사각형의 크기는 동일하게 유지되기 때문에 행렬식의 값도 동일하게 유지됩니다.

 

③ 회전 :

회전이 되는 경우에서 행렬식의 계산 값과 사각형의 넓이 값과의 차이가 나타납니다. 하나의 벡터를 고정하고 다른 벡터를 회전한다고 생각했을 때 사각형은 점점 작아져서 하나의 선이 되었다가, 다시 반대 방향으로 회전하면서 넓이가 커집니다. $\hat{i}$ → $\hat{j}$ 방향이 반시계 방향일 때 행렬식의 값이 양수라면, 반대로 시계방향이라면 음수가 됩니다. 

* 하나의 선이 되었을 때의 두 벡터를 선형 의존 (linearly dependent)하다고 봅니다. 

 

행렬식에 대해서 단순히 행렬을 계산하는 방식이나 단순히 사각형의 넓이라는 것만을 암기하는 것보다는, 행렬식이 가지는 의미를 이해하는 것이 중요하다고 생각됩니다. 벡터에 적용하는 선형변환을 두 개의 기저벡터에 적용하여 단위 정사각형이 어떻게 변화하는지를 숫자로 표현하는 것이 행렬식이 가지는 중요한 의미입니다. 

 

 

3차원으로의 확장

2차원에서 행렬식의 의미를 이해했다면 3차원으로는 쉽게 확장할 수 있습니다. 2차원에서는 기저벡터 2개가 만들어내는 단위 정사각형을 다뤘다면, 3차원에서는 기저벡터 3개가 만들어내는 단위 정육면체로 생각하면 됩니다. 확장되면 부피가 커지고, 기울인다면 부피는 동일하게 유지됩니다. 회전하는 경우에는 오른손법칙에서 왼손법칙으로 넘어가면 값이 양수에서 음수로 바뀌게 됩니다.