[선형대수] 선형 변환과 행렬의 관계

변환(Transformation)은 인풋으로 하나의 벡터를 가지고 아웃풋으로 새로운 벡터를 주는, 함수와 같은 역할을 합니다. 이때 1) 모든 선들이 직선이고, 2) 원점이 움직이지 않는 특별한 유형의 변환을 선형 변환(Linear Transformation)이라고 합니다.

 

이러한 선형 변환을 화살표가 아닌 수치적으로 표현하기 위해서는 행렬을 사용합니다. 특정 벡터가 어떤 움직임을 가지고 있는지 설명하기 위해서는 최종적으로 도달하는 좌표의 값을 알면 됩니다. 행렬에 들어가는 값들은 특정 벡터를 기저 벡터의 단위로 쪼갠 뒤에, 기적 벡터들의 최종 변환 값을 좌표로 나타내는 것으로 이해할 수 있습니다. 예를 들어 다음과 같은 선형 변환의 행렬이 있다고 합시다. 

\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
2 & 4 \\
\end{bmatrix}

column 단위로 쪼개서 보았을 때, 첫번째 열은 x축의 벡터인 $\hat{i}$이 도달하는 좌표, 두번째 열은 y축의 벡터인  $\hat{j}$이 도달하는 좌표와 같습니다. 

변환된 i와 변환된 j

 

이와 같은 행렬을 일반화하게 된다면 행렬의 곱셈 결과는 특정 벡터가 최종적으로 위치하는 좌표를 나타내게 됩니다.

\[ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \\ \end{bmatrix} \]

(x,y)의 벡터에 행렬을 곱했을 때, 최종적으로 얻어지는 벡터는 (ax + by, cx + dy)가 되는 것입니다. 

 

이러한 과정을 통해 행렬과 행렬의 계산을 조금 더 직관적으로,  좌표계에서 가지는 좌표와 기하학적 의미를 이해할 수 있습니다. 반대로 좌표와 기하학적으로 표현되는 화살표들을 숫자로만 표현할 수 있게 되어 연산을 더 용이하게 할 수 있습니다. 

 

앞서 언급된 행렬의 함수와 같은 성질(인풋으로 벡터를 받고, 아웃풋으로 변환된 벡터를 뱉음)은, 함수의 결합처럼 행렬의 결합으로 연결됩니다. 함수가 ${f(g(x))}$ 처럼 결합이 되어 있을 때 g->f 순서로 연산이 되는 것처럼, 행렬도 오른쪽에서 왼쪽 순서로 연산이 됩니다. 

 

행렬이 가지고 있는 기하학적 의미를 생각하면 결합법칙(Associativity)과 교환법칙(Commutativity)는 쉽게 도출해낼 수 있습니다. 

결합법칙 성립 O: (AB)C = A(BC) : C행렬 -> B행렬 -> A행렬 순서로, 즉 선형 변환을 적용하는 순서가 변하지 않기 때문에 쉽게 증명된다.

교환법칙 성립 X: AB != BA : 회전한 다음에 x축으로 이동한 것과 x축으로 이동한 다음에 회전하는 결과는 당연히 다르기 때문에 교환법칙 또한 쉽게 증명이 가능하다. 

 

지금까지는 2차원 상에서의 벡터와 행렬만 고려했는데, \hat{k}와 같이 세번째 기저벡터(z축)을 설정하면 2차원에서의 벡터를 다뤘을 때와 동일한 방식으로 3차원의 선형 변환을 진행할 수 있다. 행렬의 경우 2x2 크기로 2차원의 값들을 연산했다면, 3x3 크기로 확장하여 3차원의 값들을 다룰 수 있다.