728x90 수학/선형대수5 [선형대수] 내적 (Dot Product) 내적(Dot Product)를 수치적으로 보면, 같은 차원의 두 벡터에서 같은 좌표의 값들을 짝지어 곱한 뒤 모두 더해주는 것이다. $$\begin{bmatrix} {\color{Red} 2} \\ {\color{Blue} 7} \\ {\color{Green} 1} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} {\color{Red} 8} \\ {\color{Blue} 2} \\ {\color{Green} 8} \end{bmatrix} = {\color{Red} 2} \cdot {\color{Red} 8} + {\color{Blue} 7} \cdot {\color{Blue} 2} + {\color{Green} 1} \cdot {\color{Green} 8}$$ 왼쪽 벡터와 오른쪽.. 2024. 8. 5. [선형대수] 역행렬, 열공간, 계수, 영공간 키워드: 역행렬(Inverse Matrix), 열공간(Column Space), 계수(Rank), 영공간(Null Space) 이 개념들은 미지수인 변수들의 목록과 변수들과 관련된 방정식의 리스트를 표현하는 방정식계의 해를 찾을 때 사용할 수 있다. 특히, 변수에는 상수만 곱해져있고 각 변수들끼리는 더해지기만 하는 선형 방정식계 (linear system of equations)의 상황에서 유용하다.\begin{align*} 2x + 5y + 3z &= -3 \\ 4x + 0y + 8z &= 0 \\ 1x + 3y+ 0z &= 2 \end{align*}위와 같은 방정식계는 행렬-벡터 곱셈의 형식으로 표현할 수 있다.$$ \begin{bmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 4 & 0 & 8 \\ 1 & 3.. 2024. 8. 4. [선형대수] 행렬식 (Determinant) 선형대수를 공부하다 보면 행렬식이라는 개념을 접하게 됩니다. 행렬식의 정의는 정방행렬(Square Matrix)을 하나의 수로 대응시키는 함수입니다. 행렬식을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.2x2 행렬\[ \det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc \]3x3 행렬\[ \det\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(de - gh) \] 행렬식을 계산하는 방법에 대해서 간략하게 배웠거나, 행렬식의 계산 값이 단순히 두 벡터가 만들어내는 사각형의 넓이라는 값이라는 것으로 알고 있는 경우가 많습니다. 하지만 이번 .. 2024. 7. 25. [선형대수] 선형 변환과 행렬의 관계 변환(Transformation)은 인풋으로 하나의 벡터를 가지고 아웃풋으로 새로운 벡터를 주는, 함수와 같은 역할을 합니다. 이때 1) 모든 선들이 직선이고, 2) 원점이 움직이지 않는 특별한 유형의 변환을 선형 변환(Linear Transformation)이라고 합니다. 이러한 선형 변환을 화살표가 아닌 수치적으로 표현하기 위해서는 행렬을 사용합니다. 특정 벡터가 어떤 움직임을 가지고 있는지 설명하기 위해서는 최종적으로 도달하는 좌표의 값을 알면 됩니다. 행렬에 들어가는 값들은 특정 벡터를 기저 벡터의 단위로 쪼갠 뒤에, 기적 벡터들의 최종 변환 값을 좌표로 나타내는 것으로 이해할 수 있습니다. 예를 들어 다음과 같은 선형 변환의 행렬이 있다고 합시다. \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2.. 2024. 7. 20. [선형대수] 벡터와 선형 조합 벡터를 바라보는 시각은 크게 3가지로 나눌 수 있습니다.- 물리학도 : 공간에 존재하는 화살표로 접근- 컴퓨터공학도 : 리스트와 비슷하게 보이는, 값을 묶어놓은 행렬로 접근- 수학도 : 앞서 나온 두가지 시각을 일반화하는 시각으로, 벡터의 덧셈과 스칼라 값과 벡터의 곱셈의 개념으로 접근 벡터는 정해진 좌표계에서 어떤 방향으로 얼만큼 가는지를, 숫자로 표현하게 되면 움직인 뒤의 좌표값을 표현한다고 생각할 수도 있습니다. 화살표로 생각하면, 꼬리를 떼고 끝점이 어디에 갈지를 정하는 것입니다. 벡터끼리의 합은 이러한 움직임을 더하는 것이고, 스칼라 값을 곱하는 것은 이러한 움직임의 크기를 정하는 것입니다. 모든 벡터는 결국 가장 작은 단위인 기저 벡터 (unit vector)의 덧셈으로도 표현할 수 있습니다.. 2024. 7. 18. 이전 1 다음 반응형
